Toisen asteen yhtälöt Galois’n ryhmän perusteella

Polynomin Galois’n ryhmällä tarkoitetaan sellaista algebrallista ryhmää, joka muodostuu kaikista automorfismeista kun rationaalilukujen kuntaa laajennetaan asteittain liittämällä siihen muita lukusuureita. Kaikkien ensimmäisen asteen yhtälöiden Galois’n ryhmä on yhden alkion triviaaleja ryhmiä ja niiden toisen asteen yhtälöiden, joiden ratkaisut eivät ole rationaalilukuja ja jotka siten ovat redusoitumattomia, Galois’n ryhmä on 2 alkion ryhmä Z_2. Alkiot 0 ja 1 ovat molemmat omia käänteisalkioitaan, alkion 1 lisääminen vaihtaa alkion toiseksi, alkion 0 lisääminen pitää sen samana.

Esimerkiksi yhtälön z^2-2=0 tapauksessa liittämällä rationaalilukujen kuntaan \mathbb{Q} alkio \sqrt{2}, saadaan laajempi kunta \mathbb{Q}(\sqrt{2}), jonka piirissä yhtälö ratkeaa: z=\pm\sqrt{2}. Kaikki kunnan \mathbb{Q}(\sqrt{2}) alkiot ovat toisaalta muotoa r+s\sqrt{2}, joten kaikki automorfismit, jotka säilyttävät rationaaliluvut paikoillaan, ovat joko r+s\sqrt{2} \to r+s\sqrt{2} (identiteetti) tai r+s\sqrt{2} \to r-s\sqrt{2} (vastaa Z_2:n 1:tä, eli vaihtaa alkion toiseksi). Tutkitaan myöhemmin, miten samaa voidaan soveltaa muihin toisen asteen yhtälöihin.