Toisen asteen yhtälöt, jatkoa

Edellisessä artikkelissa todettiin, että toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat yleisesti muotoa m\pm\sqrt{n}, missä m,n\in\mathbb{Q}. Konstruoidaan tätä tietoa hyväksikäyttäen yleisen toisen asteen yhtälön
az^2+bz+c=0
ratkaisukaava. Tutkitaan ensin, millaisen yhtälön juuret täsmällisesti ottaen ovat m\pm\sqrt{n}, laskemalla
(z-m-\sqrt{n})(z-m+\sqrt{n})=z^2-2mz+m^2-n=0
jolloin tietysti samat juuret ovat myöskin a:lla kerrotullakin yhtälöllä:
az^2-2amz+a(m^2-n)=0
Tämän perusteella tiedetään, että b=-2am ja c=a(m^2-n), jolloin ensinmainitusta voidaan ratkaista m=-b/(2a) ja sen jälkeen jälkimmäisestä klassisesti n=b^2/(4a^2)-c/a, eli ratkaisukaava on:
z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.