Ellipsin yhtälö napakoordinaattimuodossa

Ellipsin määritelmä on tunnetusti se, että ellipsi on niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien summa kahdesta polttopisteestä on vakio. Sovitaan, että toinen polttopisteistä sijaitsisi origossa, toinen pisteessä \mathbf{d} ja vektori \mathbf{r} määrittäisi ellipsin pisteiden uran. Tällöin

|\mathbf{r}|+|\mathbf{r}-\mathbf{d}|=a.

Merkitsemällä lyhyemmin |\mathbf{r}|=r, |\mathbf{d}|=d ja noudattamalla pistetulon sääntöjä, saadaan:

r+\sqrt{r^2+d^2+2dr\cos\varphi}=a
\sqrt{r^2+d^2+2dr\cos\varphi}=a-r
r^2+d^2+2dr\cos\varphi=r^2+a^2-2ar
d^2+2dr\cos\varphi=a^2-2ar
2ar+2dr\cos\varphi=a^2-d^2
r=\frac{a^2-d^2}{2a-2d\cos\varphi}

Alempi yhtälö yleistetymmässä muodossa:

r=\frac{A}{1-E\cos\varphi}

on yleinen kartioleikkauksen yhtälö, jossa E on eksentrisyys. Mikäli |E|=0, kyseessä on ympyrä, mikäli 0<|E|<1[/latex], kyseessä on ellipsi (kuten yllä), mikäli [latex]|E|=1[/latex], kyseessä on paraabeli ja lopulta mikäli [latex]|E|>1, kyseessä on hyperbeli.