Möbius-kuvaukset

Käsittelen tässä artikkelissa lyhyesti Möbius-kuvauksia, koska niillä on niin paljon sovelluksia matematiikassa. Möbius-kuvaukset ovat kompleksilukujen R_{1,1}-tyyppisiä kompleksifunktioita, jotka ovat muotoa

w=\frac{a_0+a_1 z}{b_0+b_1 z}.

Möbius-kuvauksen eräs tärkeä ominaisuus on se, että sen käänteiskuvaus on myös Möbius-kuvaus:

(b_0+b_1 z)w=a_0+a_1 z b_0 w+b_1 wz=a_0+a_1 z

-a_1 z+b_1 wz=a_0-b_0 w
eli
z=\frac{a_0-b_0 w}{-a_1+b_1 w}

Tästä seuraa se, että jos muodostetaan kaksi Möbius-kuvausta \{z_1,z_2,z_3\}\to\{0,1,\infty\} ja \{w_1,w_2,w_3\}\to\{0,1,\infty\}, niin näiden avulla voidaan konstruoida Möbius-kuvaus \{z_1,z_2,z_3\}\to\{w_1,w_2,w_3\}. Tutkitaan, millainen on ensinmainittu Möbius-kuvaus. Selvästi ehdot z_1 \to 0 ja z_3 \to \infty osoittavat, että kyseisellä Möbius-kuvauksella on oltava tekijä (z-z_1)/(z-z_3). Ehdosta z_2\to 1 sen sijaan seuraa, että edellämainittu on vielä kerrottava lausekkeella (z_2-z_3)/(z_2-z_1), jotta tämä kolmaskin ehto toteutuisi. Koko Möbius-kuvaukseksi saadaan siis:

w(z)=\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}

Tätä lauseketta sanotaan kaksoissuhteeksi. Sen lisäksi, että Möbius-kuvauksen käänteiskuvaus on Möbius-kuvaus, myös kahden Möbius-kuvauksen yhdiste on sellainen. Mikä tahansa Möbius-kuvaus voidaan nimittäin purkaa 1-asteen lineaarikuvauksiksi (az+b) ja inversioiksi (1/z) seuraavasti:

\frac{a_0+a_1 z}{b_0+b_1 z}-\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_0 b_1-a_1 b_0}{b_0 b_1+b_1^2 z}

jolloin riittää osoittaa, että Möbius-kuvauksen ja 1-asteen lineaarikuvauksen yhdiste on Möbius-kuvaus. Tämä on melko triviaalia ja edellämainitun perusteella voidaankin päätellä, että Möbius-kuvaus säilyttää kaksoissuhteen:

\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}=\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_3)(w_2-w_1)}.