Kolmannen asteen yhtälöt

Edellisissä artikkeleissa käsiteltiin toisen asteen yhtälöitä, joiden Galois’n ryhmät eivät olleet järin mielenkiintoisia. Sen sijaan kolmannen asteen yhtälöillä on jo aavistuksen verran enemmän vaihtelua, koska rationaalikertoimisten yhtälöiden $x^3+ax^2+bx+c=0$ Galois’n ryhmä voi olla joko 6 jäsenen kolmen alkion permutaatioryhmä $S_3$ tai sen normaalialiryhmä $A_3$ , joka on isomorfinen syklisen ryhmän $\mathbb{Z}_3$ kanssa. Lisäksi tekijäryhmä $S_3\backslash A_3$ on isomorfinen toisen asteen yhtälöistä tutun ryhmän $\mathbb{Z}_2$ kanssa.

On osoitettu, että sykliset ryhmät vastaavat tietynlaisia juurenottoja niin, että $n$ alkion syklinen ryhmä $\mathbb{Z}_n$ ’ratkeaa’ aina sopivallla $n$ :s juurten summalla. Jos siis kolmannen asteen Galois’n ryhmä on $A_3$ , niin se ratkeaa pelkillä rationaalisten lausekkeiden kuutiojuurten otoilla ja jos taas monimutkaisempi $S_3$ , niin $S_3\backslash A_3=\mathbb{Z}_2$ vaatii sitä, että ennen kuutiojuuria käytetään sopivaa neliöjuuriin perustuvaa rationaalilukujen lauseketta. Voidaan yleisesti osoittaa, $x^3+ax^2+bx+c=0$ :n kaikki kolme juurta ovat:

$x=\left\{ \begin{array}{c} m_1+\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\ m_1+\omega\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega^2\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\ m_1+\omega^2\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \end{array} \right.$

missä $\omega=e^\frac{2i\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ja $m_1, m_2, m_3\in\mathbb{Q}$ . Mitä ovat $m_1$ , $m_2$ ja $m_3$ ? Tämä on mahdollista ratkaista useillakin tavoilla, mutta käytetään klassista menetelmää, jossa sijoituksella $z=x-\frac{a}{3}$ kolmannen asteen yhtälöstä saadaan häviämään toisen asteen termi ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon $z^3+pz+q=0$ . Tämän juuret ovat yksinkertaisempaa muotoa:

$z=\left\{ \begin{array}{c} \sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\ \omega\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega^2\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\ \omega^2\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \end{array} \right.$

jossa kuutiojuurten kanssa summattava rationaaliluku on hävinnyt, joten riittää olettaa, että $z$ olisi kahden kuutiojuuren summa $z=u+v$ . Luonnollisesti halutut kuutiojuurten juurrettavat ovat nyt $u^3$ ja $v^3$ , jotka joko ovat rationaalilukuja tai toisen asteen yhtälön juuria riippuen Galois’n ryhmästä. Lasketaan:

$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q=0$ , eli termejä järjestämällä:
$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$ .

Tämä lauseke häviää ainakin silloin, jos sekä $u^3+v^3+q=0$ että $3uv+p=0$ , jolloin $v=-\frac{p}{3u}$ ja ensinmainittu yhtälö muuttuu muotoon $u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0$ . Kertomalla tämä $u^3$ :lla ja merkitsemällä $t=u^3$ , saadaan toista astetta oleva resolventtiyhtälö

$t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0$

joka on juuri se toisen asteen yhtälö, joka tarvitaan osuuden $S_3\backslash A_3=\mathbb{Z}_2$ selvittämiseen ennen kuin päästään ottamaan kuutiojuuria.