Kolmannen asteen yhtälöt

Edellisissä artikkeleissa käsiteltiin toisen asteen yhtälöitä, joiden Galois’n ryhmät eivät olleet järin mielenkiintoisia. Sen sijaan kolmannen asteen yhtälöillä on jo aavistuksen verran enemmän vaihtelua, koska rationaalikertoimisten yhtälöiden x^3+ax^2+bx+c=0 Galois’n ryhmä voi olla joko 6 jäsenen kolmen alkion permutaatioryhmä S_3 tai sen normaalialiryhmä A_3, joka on isomorfinen syklisen ryhmän \mathbb{Z}_3 kanssa. Lisäksi tekijäryhmä S_3\backslash A_3 on isomorfinen toisen asteen yhtälöistä tutun ryhmän \mathbb{Z}_2 kanssa.

On osoitettu, että sykliset ryhmät vastaavat tietynlaisia juurenottoja niin, että n alkion syklinen ryhmä \mathbb{Z}_n ’ratkeaa’ aina sopivallla n:s juurten summalla. Jos siis kolmannen asteen Galois’n ryhmä on A_3, niin se ratkeaa pelkillä rationaalisten lausekkeiden kuutiojuurten otoilla ja jos taas monimutkaisempi S_3, niin S_3\backslash A_3=\mathbb{Z}_2 vaatii sitä, että ennen kuutiojuuria käytetään sopivaa neliöjuuriin perustuvaa rationaalilukujen lauseketta. Voidaan yleisesti osoittaa, x^3+ax^2+bx+c=0:n kaikki kolme juurta ovat:

  x=\left\{  \begin{array}{c}  m_1+\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\  m_1+\omega\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega^2\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\  m_1+\omega^2\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}}  \end{array}  \right.

missä \omega=e^\frac{2i\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} ja m_1, m_2, m_3\in\mathbb{Q}. Mitä ovat m_1, m_2 ja m_3? Tämä on mahdollista ratkaista useillakin tavoilla, mutta käytetään klassista menetelmää, jossa sijoituksella z=x-\frac{a}{3} kolmannen asteen yhtälöstä saadaan häviämään toisen asteen termi ja yhtälö yksinkertaistuu muotoon z^3+pz+q=0. Tämän juuret ovat yksinkertaisempaa muotoa:

  z=\left\{  \begin{array}{c}  \sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\  \omega\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega^2\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}} \\  \omega^2\sqrt[3]{m_2+\sqrt{m_3}}+\omega\sqrt[3]{m_2-\sqrt{m_3}}  \end{array}  \right.

jossa kuutiojuurten kanssa summattava rationaaliluku on hävinnyt, joten riittää olettaa, että z olisi kahden kuutiojuuren summa z=u+v. Luonnollisesti halutut kuutiojuurten juurrettavat ovat nyt u^3 ja v^3, jotka joko ovat rationaalilukuja tai toisen asteen yhtälön juuria riippuen Galois’n ryhmästä. Lasketaan:

u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q=0, eli termejä järjestämällä:
u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0.

Tämä lauseke häviää ainakin silloin, jos sekä u^3+v^3+q=0 että 3uv+p=0, jolloin v=-\frac{p}{3u} ja ensinmainittu yhtälö muuttuu muotoon u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0. Kertomalla tämä u^3:lla ja merkitsemällä t=u^3, saadaan toista astetta oleva resolventtiyhtälö

t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0

joka on juuri se toisen asteen yhtälö, joka tarvitaan osuuden S_3\backslash A_3=\mathbb{Z}_2 selvittämiseen ennen kuin päästään ottamaan kuutiojuuria.